Lo spazio R^n. Curve, integrali curvilinei.
Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili, a valori reali e vettoriali.
Problemi di ottimizzazione libera e vincolata.
Calcolo integrale per funzioni di piu' variabili.
Campi vettoriali, 1-forme e integrali di linea (di seconda specie).
Superfici parametriche, integrali di superficie e di flusso.
Equazioni Differenziali Ordinarie.
Spazi di funzioni. Successioni e serie di funzioni, serie di potenze.
i) Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica Voll. 1 e 2 (Nuova edizione 2015), Zanichelli Ed. (Attenzione: il calcolo differenziale in piu' variabili e' nel Vol. 1)
** In alternativa: per continuita'/coerenza con un altro testo consigliato (nell'AA 2017/18) per il precedente insegnamento "Analisi Matematica I":
ii) Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi matematica 2, Liguori, 2016
** Altri testi consigliati, facilmente reperibili nelle biblioteche:
- Franco Conti, Paolo Acquistapace, Anna Savojni, Analisi Matematica: teoria e applicazioni, McGraw-Hill, 2001 (fuori catalogo, credo)
- Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica, Note di analisi matematica. Funzioni di piu' variabili, Pitagora Ed., 2006
- Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976
** Esercizi/Problemi/Approfondimenti: di testi che discutono problemi ed esercizi traboccano biblioteche e librerie; sempre valido
- Boris P. Demidovic, Esercizi e Problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010
- Altri suggerimenti in arrivo
** Una piccola scelta di testi a carattere storico, divulgativo, critico:
- un classico:
Carl Boyer, A History of Mathematics, Wiley 1968 (in italiano, edito da Mondadori)
- un'opera recente di uno storico vivente, pluripremiato:
Jeremy Gray, The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century, Springer International Publishing, 2015
- l'opera di Enrico Giusti
- due altri studiosi italiani, con un paio di riferimenti:
Umberto Bottazzini, Il flauto di Hilbert. Storia della matematica, UTET, 2005
Gabriele Lolli, La crisalide e la farfalla. Donne e matematica, Bollati Boringhieri, 2000
- uno sguardo lucido sui problemi etici connessi all'utilizzo della matematica in campo finanziario e non solo (Big Data, ecc.)
Cathy O'Neil, Weapons of Math Destruction: How Big Data Increases Inequality and Threatens Democracy, Penguin UK 2016
Obiettivi Formativi
Conoscenze: elementi fondamentali di calcolo differenziale ed integrale in piu' variabili; curve e superfici; elementi della teoria delle Equazioni Differenziali Ordinarie; successioni e serie di funzioni.
Competenze: autonomia nel proporre, articolare e sostenere con rigore argomentazioni per la risoluzione di problemi attinenti ai temi elencati (cfr. Conoscenze); utilizzo sicuro di simboli e risultati principali; controllo degli errori nel calcolo.
Abilita'/capacita': formalizzazione di problemi fisico/meccanici in termini analitici; derivazione di semplici modelli nel continuo e nel discreto, e loro trattazione. Consolidata capacita' di comunicazione nella scrittura e nell'esposizione orale. Equilibrio tra autonomia nello studio individuale e partecipatizione attiva nel gruppo.
Prerequisiti
Calcolo Differenziale e Integrale per funzioni reali in una variabile. Successioni e serie numeriche. Algebra lineare e geometria analitica.
Precedenza (formale): insegnamento "Analisi Matematica I", Prerequisito: insegnamento "Geometria"
Metodi Didattici
Lezioni (in aula), in assenza di rigida separazione tra teoria e pratica.
Spazi di discussione collettiva durante le lezioni e nel ricevimento settimanale (Lunedi', ore 14:30-16:00, da confermare).
Esercizi, problemi, approfondimenti (o spunti per approfondimenti) forniti -- generalmente, a cadenza bisettimanale -- attraverso la piattaforma e-learning di UniFI; parola chiave: am2fis_1819
Altre Informazioni
CFU: 9 (225 ore di lavoro)
Durata del corso: 13 settimane nominali, dal 20 Settembre al 21 Dicembre 2018; 80 ore circa in aula; cfr. https://www.fis-astro.unifi.it/vp-94-orario-delle-lezioni.html
Orario delle lezioni:
Lun. ore 10:45-13:30 (tre ore, con due pause) presso il Blocco Aule, Polo Scientifico
Mer. ore 9:45-11:30 (due ore, con una pausa) presso il Blocco Aule, Polo Scientifico
Ven. ore 8:45-10:30 (due ore, con una pausa) presso il Blocco Aule, Polo Scientifico
N.B. Sporadicamente e/o per recuperi verra' utilizzato lo spazio 8:45-9:30 del Mercoledi', attribuito ufficialmente (cfr. orario delle lezioni)
Modalità di verifica apprendimento
La prova d'esame finale del corso consiste in una prova scritta comprendente alcuni quesiti su temi chiave (cfr. Contenuti e Programma esteso), e -- se ammesse/i -- in una successiva prova orale. La prova scritta suddetta potra' essere anticipata affrontando (presumibilmente due) prove in itinere. Per il colloquio occorre prevedere di discutere l'elaborato.
Gli appelli sono distinti tra loro: salvo diversa indicazione da parte della docente, la prova orale non puo' essere procrastinata ad altri appelli.
Programma del corso
Analisi Matematica II (Programma dettagliato)
Lo spazio R^n: prodotto scalare, norma euclidea, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, subadditivita' della norma. Prodotto vettoriale.
Curve in forma parametrica: sostegno, orientazione, curve semplici, curve chiuse. Casi particolari di curve piane: grafici di funzioni continue in un intervallo, curve in forma polare. Vettore velocita' e retta tangente; curve regolari e regolari a tratti. Parametrizzazioni equivalenti. Curve rettificabili, lunghezza di una curva; formula per la lunghezza di una curva C^1 (o regolare a tratti). Parametro lunghezza d'arco o ascissa curvilinea. Integrali curvilinei (di prima specie). Applicazioni fisiche e geometriche. Il sito mathcurve.
Funzioni di piu' variabili, a valori reali: grafici, insiemi di livello. Elementi di topologia in R^n: insiemi aperti, insiemi chiusi, punti interni, punti d'accumulazione.
Limiti e continuita'. Proprieta' delle funzioni continue: il Teorema di Weierstrass, il Teorema degli zeri.
Derivate direzionali, derivate parziali. Approssimazione lineare e differenziabilita'. Piano tangente e vettore normale al grafico. Vettore gradiente, differenziale; il Teorema del differenziale totale. Derivazione di funzioni composte: casi di rilievo, regola della catena.
Derivate di ordine superiore e approssimazioni successive: funzioni di classe C^k, matrice hessiana, Teorema di Schwarz. Formula di Taylor del secondo ordine.
Ottimizzazione libera: punti di estremo relativo, il Teorema di Fermat.
*[Forme quadratiche in R^n, classificazione: forme definite positive (negative), semidefinite positive (negative), indefinite. Test degli autovalori. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l'esistenza di punti di massimo/minimo relativo o di sella per una funzione di classe C^2.]
Funzioni definite implicitamente: Teorema delle funzioni implicite.
Funzioni di piu' variabili a valori vettoriali: generalita', matrice jacobiana. Superfici in forma parametrica: sostegno, superfici regolari, piano tangente; superfici regolari a pezzi. Esempi. Cambi di coordinate, invertibilita' locale e globale di trasformazioni da un aperto di R^n in R^n.
Ottimizzazione vincolata: Il Teorema dei moltiplicatori dei Lagrange.
Integrale secondo Riemann. Integrale di funzioni semplici in un rettangolo; integrale di funzioni limitate a supporto compatto. Caratterizzazione dell'integrabilita'. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Insiemi di misura nulla, esempi; caratterizzazione degli insiemi misurabili. Funzioni integrabili in insiemi limitati misurabili. Il calcolo degli integrali: Teorema di Fubini. Insiemi semplici (o normali) rispetto d un asse, formule di riduzione per integrali doppi e tripli. Applicazioni fisico/meccaniche: calcolo di baricentri e di momenti di iinerzia. Cambiamento di variabili negli integrali multipli. Coordinate polari; coordinate cilindriche e sferiche.
Integrali impropri in piu' variabili. Calcolo dell'integrale della funzione di Gauss in R^2, R, R^n.
Campi vettoriali, forme differenziali. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva orientata, integrali curvilinei (di seconda specie). Campi conservativi e loro potenziali; forme esatte e loro primitive. Caratterizzazione delle forme esatte. Condizioni necessarie affinche' una forma sia esatta in una aperto di R^n: forme differenziali chiuse. In 3D: campi irrotazionali, il rotore. Insiemi stellati, insiemi semplicemente connessi; esempi in R^2 e in R^3. Forme localmente esatte. Formule di Gauss-Green nel piano.
Area di una superficie. Integrali di superficie e di flusso. Il Teorema della divergenza. Formula di Stokes in R^3.
Spazi di funzioni. Spazi metrici completi. Il Teorema delle contrazioni.
Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO). Ordine e tipo di un'equazione. Il problema di Cauchy. Teorema di esistenza (locale) e unicita'; condizione di Lipschitz; il pennello di Peano. Esistenza globale: condizione di sub-linearita', teoremi relativi.
EDO lineari del prim'ordine, a coefficienti continui (richiami): formula per l'integrale generale, formula per la soluzione dei problemi di Cauchy associati.
EDO lineari di ordine n non omogenee: principio di sovrapposizione, lo spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea associata e' uno spazio vettoriale di dimensione n. Il caso di coefficienti costanti. Ricerca di soluzioni dell'EDO non omogenea: variazione delle costanti, metodo dei coefficienti indeterminati. Equazioni di Eulero.
EDO non lineari del prim'ordine: equazioni a variabili separabili (richiami), equazioni omogenee, equazioni esatte; equazioni riconducibili ad equazioni esatte, fattori integranti.
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme, metrica lagrangiana. Passaggio al limite sotto il segno di integrale, altre implicazioni della convergenza uniforme. Serie di funzioni, criterio di Weierstrass, convergenza totale e uniforme. Serie di potenze, raggio di convergenza. Convergenza assoluta, totale, uniforme. Serie di Taylor e funzioni analitiche.
N.B.:
I contenuti delle lezioni sono inseriti via via in un "Registro delle lezioni", consultabile sia dalla piattaforma Moodle, sia direttamente dalla pagina personale della docente http://www.dma.unifi.it/~fbucci (Teaching Activity, current Academic Year)