B006517 - ANALISI MATEMATICA II

Italiano

Lo spazio R^n. Curve, integrali curvilinei.
Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili, a valori reali e vettoriali.
Problemi di ottimizzazione libera e vincolata.
Calcolo integrale per funzioni di piu' variabili.
Campi vettoriali, 1-forme e integrali di linea (di seconda specie).
Superfici parametriche, integrali di superficie, integrali di flusso.
Equazioni Differenziali Ordinarie.
Spazi di funzioni. Successioni e serie di funzioni, serie di potenze.

** Testo di riferimento:

- Enrico Giusti, Analisi Matematica 2 (ultima edizione interamente riveduta e ampliata), Bollati Boringhieri Ed.
(per coerenza e continuita' con il testo suggerito nel precedente AA, per l'insegnamento "Analisi Matematica I")

** Testo consigliato:

- Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica Voll. 1 e 2 (Nuova edizione 2015), Zanichelli Ed. (Attenzione: il calcolo differenziale in piu' variabili e' nel Vol. 1)

** Altri testi consigliati, facilmente reperibili nelle biblioteche:

- Franco Conti, Paolo Acquistapace, Anna Savojni, Analisi matematica: teoria e applicazioni,
McGraw-Hill, 2001 (fuori stampa?)

- Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica, Note di analisi matematica. Funzioni di piu' variabili, Pitagora Ed., 2006

- Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976

- Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi matematica 2, Liguori, 2016

Di testi che discutono problemi ed esercizi traboccano biblioteche e librerie; un ottimo libro e' quello di

- Boris P. Demidovic
Esercizi e Problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010

** Una piccola scelta di testi a carattere storico, divulgativo, critico:

- un classico:
Carl Boyer, A History of Mathematics, Wiley 1968 (in italiano, edito da Mondadori)

- un'opera recente di uno storico vivente, pluripremiato:
Jeremy Gray, The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century,
Springer International Publishing, 2015

-- oltre ad Enrico Giusti, storici/saggisti italiani di grande rilievo:

- Umberto Bottazzini, Il flauto di Hilbert. Storia della matematica, UTET, 2005

- Gabriele Lolli, La crisalide e la farfalla. Donne e matematica, Bollati Boringhieri, 2000

-- uno sguardo lucido sui problemi etici connessi all'utilizzo della matematica in campo
finanziario e non solo (Big Data, ecc.)

Cathy O'Neil, Weapons of Math Destruction: How Big Data Increases Inequality and Threatens Democracy, Penguin UK 2016

Prerequisiti: Calcolo Differenziale e Integrale per funzioni reali in una variabile.
Successioni e serie numeriche. Algebra lineare e geometria analitica.
Precedenza (formale): insegnamento "Analisi Matematica I"
Prerequisito: insegnamento "Geometria"

Lezioni (in aula), in assenza di rigida separazione tra teoria e pratica.
Discussioni collettive durante il ricevimento settimanale (Lunedi', ore 14:30).
Esercizi, problemi, spunti di approfondimento forniti (generalmente, con cadenza bisettimanale) attraverso la piattaforma Moodle (E-learning) di UniFI; parola chiave: am2fis_1617

CFU: 9 (225 ore di lavoro)
Durata del corso: 14 settimane nominali, dal 19 Settembre al 23 Dicembre 2016; 80 ore circa
http://www.fis-astro.unifi.it/vp-94-orario-delle-lezioni.html

Orario delle lezioni:
Lun. ore 10:45-13:30 (tre ore, con due pause) presso il Blocco Aule, Polo Scientifico
Mer. ore 9:45-11:30 (due ore, con una pausa) presso il Blocco Aule, Polo Scientifico
Ven. ore 8:45-10:30 (due ore, con una pausa) presso il Blocco Aule, Polo Scientifico

N.B. Sporadicamente e/o per recuperi verra' utilizzato anche lo spazio 8:45-9:30 del Mercoledi', attribuito ufficialmente (cfr. orario delle lezioni)

La prova d'esame del corso consiste in una Prova scritta comprendente quattro (4) quesiti
su temi chiave (cfr. Contenuti), e -- se ammessi -- in una successiva prova orale.
Per il colloquio occorre prevedere di discutere l'elaborato.
Gli appelli sono distinti tra loro: salvo diversa indicazione da parte dei docenti, la prova orale non puo' essere procrastinata ad altri appelli

Premessa:
Un programma ancor piu' dettagliato si desume dal "Registro delle lezioni", consultabile sia da Moodle, sia direttamente al link
http://www.dma.unifi.it/~fbucci/didattica/AA16-17/dida_16-17.html

Analisi Matematica II (docenti: Bucci Francesca & Luigi De Pascale)

Richiami sullo spazio R^n: prodotto scalare, norma euclidea, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, subadditivita' della norma. Prodotto vettoriale.

Curve in forma parametrica: sostegno, orientazione, curve semplici, curve chiuse.
Casi particolari di curve piane: grafici di funzioni continue in un intervallo, curve in
forma polare. Il sito mathcurve.
Vettore velocita' e retta tangente; curve regolari e regolari a tratti.
Parametrizzazioni equivalenti. Curve rettificabili, lunghezza di una curva; formula per la lunghezza di una curva regolare (o solo C^1, o anche regolare a tratti). Parametro lunghezza d'arco o ascissa curvilinea. Integrali curvilinei (di prima specie). Applicazioni fisiche e geometriche.

Funzioni di piu' variabili, a valori reali: grafici, insiemi di livello.
Elementi di topologia in R^n: insiemi aperti, insiemi chiusi, punti interni, punti d'accumulazione.
Limiti e continuita'. Proprieta' delle funzioni continue: il Teorema di Weierstrass, il Teorema degli zeri.

Derivate direzionali, derivate parziali. Approssimazione lineare e differenziabilita'.
Piano tangente e vettore normale al grafico. Vettore gradiente, differenziale.
Condizioni sufficienti per la differenziabilita': il Teorema del differenziale totale.
Derivazione di funzioni composte: casi di rilievo, regola della catena.

Derivate di ordine superiore e approssimazioni successive: funzioni di classe C^k, matrice hessiana, Teorema di Schwarz. Formula di Taylor del secondo ordine.

Ottimizzazione libera: punti di estremo relativo, il Teorema di Fermat.
*[Forme quadratiche in R^n, classificazione: forme definite positive (negative), semidefinite positive (negative), indefinite. Test degli autovalori. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l'esistenza di punti di massimo relativo, di minimo relativo e di sella per una funzione di classe C^2.]

Funzioni definite implicitamente: Teorema delle funzioni implicite.

Funzioni di piu' variabili a valori vettoriali: generalita', matrice jacobiana.
Superfici in forma parametrica: sostegno, superfici regolari, piano tangente; superfici regolari a pezzi. Esempi. Trasformazioni di coordinate, invertibilita' locale e globale di trasformazioni.

Ottimizzazione vincolata: Il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

Integrale secondo Riemann. Integrale di funzioni semplici in un rettangolo; integrale di funzioni limitate a supporto compatto. Caratterizzazione dell'integrabilita'. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Insiemi di misura nulla, esempi; caratterizzazione degli insiemi misurabili.
Funzioni integrabili in insiemi limitati misurabili. Il calcolo degli integrali: Teorema di Fubini. Insiemi semplici (o normali) rispetto ad un asse, formule di riduzione per integrali doppi e tripli. Applicazioni fisico/meccaniche: calcolo di baricentri e di momenti d'inerzia.
Cambiamento di variabili negli integrali multipli. Coordinate polari; coordinate cilindriche
e sferiche.

Integrali impropri in piu' variabili. Calcolo dell'integrale della Gaussiana exp(-||x||^2)
in R^2, R, R^n.

Campi vettoriali, forme differenziali. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva orientata,
integrali curvilinei (di seconda specie). Campi conservativi e loro potenziali; forme esatte e
loro primitive. Caratterizzazione delle forme esatte. Condizioni necessarie affinche' una
forma sia esatta in un aperto di R^n: forme differenziali chiuse. In 3D: campi irrotazionali,
il rotore. Insiemi stellati, insiemi semplicemente connessi; esempi in R^2 e in R^3. Forme localmente esatte.

Formule di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza.

Area di una superficie. Integrali di superficie. Flusso di una campo attraverso una superficie. Formula di Stokes in R^3.

Spazi di funzioni. Spazi metrici completi. Il Teorema delle contrazioni.
Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO). Ordine e tipo di un'equazione.
Il problema di Cauchy. Teorema di esistenza (locale) e unicita'; condizione di Lipschitz,
il pennello di Peano. Esistenza globale: condizione di sub-linearita', Teoremi relativi.

EDO lineari del prim'ordine, a coefficienti continui: formula per l'integrale generale,
formula per la soluzione dei problemi di Cauchy associati.
EDO lineari di ordine n non omogenee: principio di sovrapposizione, lo spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea associata e' uno spazio vettoriale di dimensione n.
Il caso di coefficienti costanti. Ricerca di soluzioni dell'EDO non omogenea: variazione delle costanti, metodo dei coefficienti indeterminati.
Equazioni di Eulero (per esercizio).

EDO non lineari del prim'ordine: equazioni a variabili separabili, equazioni omogenee,
equazioni esatte; equazioni riconducibili ad equazioni esatte, fattori integranti.

Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Metrica lagrangiana, convergenza uniforme. Passaggio al limite sotto il segno di integrale, altre implicazioni della convergenza uniforme. Serie di funzioni, criterio di Weierstrass, convergenza totale e uniforme. Serie di potenze, raggio di convergenza. Convergenza assoluta, totale, uniforme. Serie di potenze e serie di Taylor, funzioni analitiche.