B015870 - TOPOLOGIA DIFFERENZIALE

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Diffeomorfismi tra sottoinsiemi degli spazi euclidei. Varieta' differenziabili senza bordo. Spazio tangente. Fibrato tangente. Differenziale di un'applicazione tra varieta'. Lemma di Sard. Varieta' differenziabili con bordo. Grado modulo 2. Grado di Brouwer. Teorema di punto fisso di Brouwer. Esempio di Kakutani. Teorema di Schauder. Principio di continuazione. Applicazioni alle equazioni differenziali. Indice di allacciamento di due curve chiuse in R^3. Elementi di teoria della biforcazione.

Furi M., Registro delle lezioni (top-diff_12-13.pdf), http://www.dma.unifi.it/~furi/didattica/registri/top/
Guillemin V. - Pollak A., Differential Topology, Prentice-Hall, Inc., 1974.
Hirsch M.W., Differential Topology, Graduate Texts in Math., Vol. 33, Springer Verlag, 1976.
Lloyd N.G., Degree Theory, Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 73, Cambridge University Press, 1978.
Milnor J.W., Topology from the differentiable viewpoint, The Univ. Press of Virginia, 1965.
Spivak M., Calculus on Manifold, W.A. Benjamin, Inc., 1965.

Conoscenze: Impadronirsi dei concetti matematici svolti a lezione
Competenze acquisite: Saper collegare tra loro i concetti svolti a lezione.
Capacità acquisite al termine del corso: Essere in grado di risolvere i problemi assegnati a lezione.

Gli argomenti dei corsi di Geometria e di Analisi matematica I e II. Elementi di Analisi Funzionale. Conoscenze di base sulla misura di Lebesgue.

Lezioni teoriche ed esercitazioni. Svolgimento e discussione sugli esercizi assegnati.

Office hours: see the web page http://www.dma.unifi.it/~furi/

Esame orale

PRELIMINARI
Applicazioni lisce tra arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei. Diffeomorfismi. Teorema della funzione inversa locale. Teorema della funzione implicita. Cono tangente ad un insieme in un punto. Spazio tangente (come spazio generato dal cono tangente). Differenziale in un punto di un'applicazione liscia tra arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei (come restrizione allo spazio tangente del differenziale di una qualunque estensione liscia ad un intorno). Proprieta' del differenziale. Fibrato tangente di un arbitrario insieme in R^k. Confine di un insieme (insieme dei punti singolari). Teorema di invarianza del confine per un diffeomorfismo e conseguenze. Massimi e minimi per applicazioni reali (su arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei). Condizioni necessarie (del primo e del secondo ordine). Condizioni sufficienti (del primo e del secondo ordine).

VARIETA` DIFFERENZIABILI
Varieta' differenziabili negli spazi euclidei. Varieta' con bordo. Carte e parametrizzazioni. Proprieta' dello spazio tangente ad una varieta' differenziabile in un punto. Primo teorema di regolarita' delle soluzioni (per varieta' senza bordo). Punti critici e regolari. Valori critici e regolari. Applicazioni proprie tra spazi metrici. Una dimostrazione del Teorema Fondamentale dell'Algebra. Lemma di Sard. Lemma del taglio. Secondo teorema di regolarita' delle soluzioni (per varieta' con bordo). Massimi e minimi sulle varieta' differenziabili. Moltiplicatori di Lagrange (condizioni necessarie e condizioni sufficienti per i punti estremanti). Orientazione di un varieta' differenziabile. Varieta' orientabili e non orientabili.

TEORIA DEL GRADO E APPLICAZIONI
Proprieta' del punto fisso. Retratti di uno spazio topologico (e legame con la proprieta' del punto fisso). Teorema di punto fisso di Brouwer. Esempio di Kakutani. Teorema di punto fisso di Schauder. Teorema di esistenza di Peano per le equazioni differenziali ordinarie. Applicazioni del teorema di Schauder ai limiti per equazioni differenziali non lineari. Principio di continuazione in dimensione infinita. Applicazioni del principio di continuazione ai problemi ai limiti per i sistemi di equazioni differenziali ordinarie non lineari. Grado modulo due per applicazioni proprie tra varieta' differenziabili (non necessariamente orientabili). Grado di Brouwer per applicazioni proprie tra varieta' orientate. Equivalenza tra grado algebrico e grado topologico per i polinomi in campo complesso. Campo vettoriale tangente ad una varieta'. Teorema di non pettinabilita' delle sfere di dimensione pari. Teoria della biforcazione in dimensione finita. Condizione necessaria per la biforcazione. Condizione sufficiente per la biforcazione. Indice di allacciamento di due curve chiuse in R^3. Teoria assiomatica del grado di Brouwer e conseguenze topologiche.